Røringscirkler uden Heron

Røringscirkler er cirkler, som enten tangerer alle en trekants sider eller én af disse sider samt de to andres forlængelser. Alle trekanter har 4 røringscirkler: Én indskreven cirkel, som tangerer samtlige trekantens sider, og 3 såkaldte ydre røringscirkler.

Den indskrevne cirkels radius

R = sin ( vA2 ) ⋅ √(s1 − A1)2 + (s2 − A2)2

Program til beregning af røringscirkler

Ganges afstanden mellem A og den røde cirkels centrum s med sinus til vinklen mellem linjestykket As og siden b, fås den røde cirkels radius R.

- As er en del af vinkel A's halveringslinje, og R angiver højden fra s på b i trekant AsC.

R kan også beregnes vha. dist-formlen som den korteste afstand mellem s og cirklens røringspunkt på b.

 

De ydre røringscirklers centre

De ydre røringscirklers centre findes, hvor trekant ABC's vinkelhalveringslinjers normaler gennem toppunkterne skærer hinanden. Nævnte normaler halverer selv trekantsvinklernes nabovinkler, da to nabovinklers halveringslinjer altid er hinandens normaler.

Et udførligt bevis på, at det forholder sig sådan, findes på side 3 (afsnit 1, spalte 2) i Kirsten Rosenkildes: Geometrinotater (PDF). Et enkelt bevis kunne se sådan ud:

Da to nabovinkler A og B tilsammen er 180°, er ( A + B ) / 2 = 180 / 2 ⇔ A / 2 + B / 2 = 90. Deraf følger også, at halvdelen af nabovinklen til vinkel B er lig med 90° - B / 2 osv. Jf. den orange cirkels radius nedenfor! Se endvidere: Advanced Euclidean Geometry, s. 14. 

Bemærk, at højderne i den trekant, som dannes af linjestykkerne mellem de ydre røringscirklers centre, er sammenfaldende med trekant ABC's vinkelhalveringslinjer.

According to WolframMathWorld:

Centres of so-called excircles are to be found where exterior angle bisectors bisecting supplementary angles of interior angles intersect. Kort sagt: Hvor trekantsvinklernes nabovinklers halveringslinjer skærer hinanden, findes de ydre røringscirklers centre.

Den orange cirkels radius

ra = sin ( 

π − vB2 ) 

⋅ √(JA1 − B1)2 + (JA2 − B2)2

Program til beregning af røringscirkler

Ganger vi afstanden mellem B og den orange cirkels centrum J_A med sinus til vinklen mellem linjestykket BJ_A og siden a, får vi cirklens radius r_a.

Her udnytter vi, at to nabovinklers halveringslinjer er hinadens normaler, samt at halvdelen af nabovinklen til B dermed er givet ved: π / 2 eller 90° minus B / 2.

De øvrige ydre cirklers radiusser beregnes på tilsvarende måde. Se Program til beregning af røringscirkler.

Program til beregning af røringscirkler

Universaltrekant NEW

Wikipedia:

Incircle and excircles of a triangle

Orthic triangle

Mathematics:

Triangle orthocenter problem

Angående sinus, se:

Trigonometriske læresætninger