Parablens toppunkt og rødder uden formler

Parablens toppunkt og rødder

f(x) = ax2 + bx + c

Er h et reelt tal, kan en alternativ beregning af toppunktet ( S ; T ) foretages ved først at bestemme S,
dvs. det x, for hvilket det gælder, at:

f(x − h) = f(x + h) ⇔ 

a(x − h)2 + b(x − h) + c =

a(x + h)2 + b(x + h) + c ⇔

a(x2 + h2 − 2hx) + b(x − h) =

a(x2 + h2 + 2hx) + b(x + h) ⇔

ax2 + ah2 − 2ahx + bx − bh =

ax2 + ah2 + 2ahx + bx + bh ⇔

− 2ahx − bh = 2ahx + bh ⇔

− 2ahx − 2ahx = bh + bh ⇔

− 4ahx = 2bh ⇒

Smidlertidig = 2bh − 4ah ⇒

S =  − b2a.

Med fundet af toppunktets x-værdi S er y-værdien T givet ved:

Tmidlertidig = f(S) =

aS2 + bS + c =

a( − b2a)2 + b( − b2a) + c =

b24a +  − b22a + c =

b24a +  − 2b24a + 4ac4a =

b2 − 2b2 + 4ac4a =

− b2 + 4ac4a ⇒

T =  − d4a, d = b2 − 4ac.

Se også linje 32-38 her: Parablens toppunkt og rødder.