onsdag den 14. september 2016

Parablens toppunkt og rødder uden formler


f(x) = ax2 + bx + c

Er h et reelt tal, kan en alternativ beregning af toppunktet ( S ; T ) foretages ved først at bestemme S,
dvs. det x, for hvilket det gælder, at:

f(x − h) = f(x + h⇔ 

a(x − h)2 + b(x − h) + c =

a(x + h)2 + b(x + h) + c 

a(x2 + h2 − 2hx) + b(x − h) =

a(x2 + h2 + 2hx) + b(x + h) 

ax2 + ah2 − 2ahx + bx − bh =

ax2 + ah2 + 2ahx + bx + bh 

− 2ahx − bh = 2ahx + bh 

− 2ahx − 2ahx = bh + bh 

− 4ahx = 2bh 

Smidlertidig = 2bh − 4ah 

S =  − b2a.

Med fundet af toppunktets x-værdi S er y-værdien T givet ved:

Tmidlertidig = f(S=

aS2 + bS + c =

a( − b2a)2 + b( − b2a) + c =

b24a +  − b22a + c =

b24a +  − 2b24a + 4ac4a =

b2 − 2b2 + 4ac4a =

− b2 + 4ac4a 

T =  − d4a, d = b2 − 4ac.

Se også linje 32-38 her: Parablens toppunkt og rødder.


søndag den 11. september 2016

Skæring mellem linjer

Skæring mellem linjer
Alt andet lige beregnes et eventuelt skæringspunkt mellem to linjer lettest ved at bestemme disses forskrifter som henholdsvis en linjeligning givet ved fx:

ax + by + c = 0

og en vektorfunktion bestemt ved fx:

(B1 + b1t, B2 + b2t).

Ved indsættelse af vektorfunktionen i linjeligningen fås ligningen:

a(B1 + b1t) + b(B2 + b2t) + c = 0,

i hvilken t omdøbes til t1 og isoleres på venstresiden:

t1 =  − aB1 − bB2 − cab1 + bb2

Skæringskoordinaterne s1 og s2 bestemmes nu ved i vektorfunktionen at erstatte t med t1:

s1 = B1 + b1t1 

s2 = B2 + b2t1.

Se også: Skæring mellem to linjer NEW.

lørdag den 10. september 2016

Vinkelhalvering uden passer

Universaltrekant

Hvis A, B og C's halveringslinjer skærer
a, b og c D, E og F, er BD, CE og AF givet ved henholdsvis:

BD = cab + c

CE = abc + a


AF = bca + b


Dermed er eksempelvis punktet D givet ved:

D1 = B1 + C1 − B)b + c

D2 = B2 + C2 − B)b + c


Hvis d1 = D1 − A1 og d2 = D2 − A2 

kan vinkel A's halveringslinjes parametriske ligning bestemmes sådan:

(A1 + d1t, A2 + d2t),

mens dens kartesiske ligning er givet ved: − d2(x − A1) + d1(y − A2) = 0.

En normalvektor gennem fx A kan skrives på formen: (A1 − d2t, A2 + d1t),

og den tilsvarende normal er givet ved: − d1(x − A1) − d2(y − A2) = 0.

De øvrige halveringslinjer og disses normaler gennem B og C beregnes på tilsvarende vis.