tirsdag den 23. august 2016

Vektor Diskussion

Det siges ofte af folk med forstand på matematik, at en vektor ikke er (ikke kan være) fx en linje. Et nærliggende spørgsmål er derfor: Hvad er en vektor så? En af begrundelserne for, at en vektor ikke må kaldes fx. en linje, og derfor ofte blot betegnes som en pil, der har en længde og en retning, er vel, at den hverken er relateret til noget start-/skæringspunkt eller noget andet punkt i et koordinatsystem, som kan definere den som en linje i matematisk forstand?

En bestemt længde kan jo også sagtens defineres som en afstand mellem uendeligt mange forskellige/villkårlige punkter, så at en vektor har en længde, siger i sig selv intet om dens placering i tid og rum. - Mit spørgsmål er derfor, hvorfor det (ifølge den gængse opfattelse) er problematisk eller direkte forkert at kalde fx en normalvektor til en nærmere bestemt vinkelhalveringslinje gennem et nærmere defineret punkt på halveringslinjen, for en linje eller rettere for en linjeforskrift, når en således beskrevet vektor jo netop har alle de egenskaber, en linjeligning har?

En sådan vektor burde da kunne påberåbe sig status af (at være) om ikke en linje, så i det mindste en ligning/forskrift for en linje, hvorfor det vel heller ikke kan være helt hen i vejret at tale om en sådan vektors skæring med fx andre lignende normalvektorer, selvom dogmatiske matematikere sikkert vil hævde det? Jeg har hørt sådanne personer påstå, at en vektor har en længde og en retning, men ikke nogen hældning.

Ikke desto mindre er begreberne retning og hældning interafhængige: uden hældning, ingen retning! To vektorer er kun ens, hvis de har såvel samme længde som hældning og retning. For at kunne tale om ÉN retning, må man imidlertid kun gå fra "det ene punkt" til "det andet punkt" og ikke også fra det andet til det ene, for så bliver der jo tale om to retninger. Til gengæld afhænger længden ikke af retningen. Den er ens, uanset om man går fra A til B eller fra B til A. Det nærmeste man kommer et decideret hældningstal, hvis retningen er lodret op- eller nedadgående, er betegnelsen plus/minus uendelig.

Imidlertid bruges argumenter af følgende type stadig, når talen drejer sig om vektorer:

"En linje er placeret et bestemt sted i planen (eller rummet, afhængigt af hvor mange dimensioner vi arbejder med). En vektor har ingen fast placering, men kun sin længde og retning. Når en vektor ikke er placeret et bestemt sted, giver det ikke mening at snakke om skæringer med vektorer i noget bestemt punkt, herunder om skæringer mellem en linje og en af dens normalvektorer".

Men med en sådan argumentation kunne man jo lige så godt hævde, at det ikke giver nogen mening at kalde linjens ligning for et førstegradspolynomium, da linjens ligning strengt taget ikke er noget polynomium, idet polynomier ikke er ligninger, men blot flerleddede størrelser med bestemte karakteristika. Alligevel GIVER det god mening, dels fordi begrebet førstegradspolynomium er kort (i modsætning til det engelske: polynomial function of degree one), dels fordi det indikerer, at vi har at gøre med en polynomiumslignende funktion.

På nøjagtigt samme måde giver det rigtig god mening at kalde fx en normalvektor til en nærmere bestemt vinkelhalveringslinje gennem et nærmere defineret punkt på halveringslinjen, for en linje eller rettere for en linjeforskrift, idet man med en sådan formulering løser et problem med at formidle vanskeligt stof på en elegant og letforståelig måde. Kun vha. sproglige tilsnigelser af denne art bliver det umulige muligt.

Hvis man vha. et moderne CAS-program som Desmos skriver eksempelvis (4,2), så har man en punktangivelse eller en såkaldt statisk vektori hvilken koordinaterne 4 og 2 er konstante. Skriver man (4t,2t), får man en såkaldt dynamisk vektor eller vektorfunktion, der tegner et linjestykke mellem punkterne (0,0) og (4,2). I en sådan vektor, der også kaldes en stedvektor, er koordinaterne funktioner, hvilket også ses af skrivemåder som disse: sx(t)=4t og sy(t)=2t eller s1(t)=4t og s2(t)=2t.

I stedet for (4t,2t) kan man også skrive (0+4t,0+2t). Det gør ingen forskel. Og skriver man fx (3+4t,5+2t), tegnes der et linjestykke mellem startpunktet (3,5) og slutpunktet (3+4,5+2) = (7,7), ligesom der angives en retning, der udgår fra start- til slutpunktet. Hvad vil jeg pointere hermed? At en vektor er et vidt begreb! Se eventuelt også disse EKSEMPLER.

Nogen undrer sig måske over, hvordan noget, der tilsyneladende blot er en punktangivelse, kan angive en vektors længde. Men tager man fx punktangivelsen (a,b), fremkommer længden ved, at man fra et vilkårligt (ikke anført) startpunkt bevæger sig a enheder i x-aksens og b enheder i y-aksens retning for at komme til et andet vilkårligt (ikke anført) slutpunkt, hvorved den statiske vektors længde kan bestemmes som kvadratroden af a2+b2.

Først når en vektor med indførelsen af t-parameteren bliver dynamisk, får den et specifikt startpunkt, som - hvis intet andet er anført - vil være (0,0), og dermed også en nærmere bestemt retning. For med t-parameteren OG et specifikt startpunkts anførelse kan også et specifikt slutpunkt uden problemer bestemmes. Det samme kan en nærmere bestemt retning for vektoren. Skrives en dynamisk vektor sådan:

(x1+(x2-x1)t,y1+(y2-y1)t),

så har den retning fra punktet (x1,y1) til punktet (x2,y2), uanset hvilke værdier og fortegn de anførte værdier af x og y måtte have. Og en hældningskoefficient for den kan naturligvis også bestemmes, medmindre x2-xer lig med 0.

Fjernes t-parameteren og startkoordinaterne, fås igen et punkt: ((x2-x1),(y2-y1)) eller en statisk vektor uden fast placering, men hvis længde kan bestemmes som kvadratroden af:

(x2-x1)2+(y2-y1)2.

Dynamiske vektorer kan bruges overalt, hvor det måtte være hensigtsmæssigt, fx hvor man vil finde et skæringspunkt mellem en linje, der er defineret således: ax+by+c=0 og en dynamisk vektor eller vektorfunktion, der er defineret sådan: (x0+dt,y0-kt).

Se eventuelt: Linje-vektorfunktion-skæring.

Se også her: Angående vektorfunktioner.

Se endvidere FriViden: Video 19 (linjens parameterfremstilling).


onsdag den 17. august 2016

Røringscirkler


Én indre røringscirkel og 3 ydre

De ydre røringscirklers centre
befinder sig, hvor trekant ABC's
vinkelhalveringslinjers normaler
gennem toppunkterne skærer
hinanden.

Nævnte normaler halverer selv
trekantsvinklernes nabovinkler,
da 2 nabovinklers halveringslinjer
altid er hinandens normaler.

M.a.o. Hvor trekantsvinklernes
nabovinklers halveringslinjer
skærer hinanden, findes de
ydre røringscirklers centre.

According to WolframMathWorld: Centres of the so-called excircles are to be found where exterior angle bisectors bisecting supplementary angles of interior angles intersect.

Wikipedia (engelsk):

Incircle and excircles of a triangle

WikipediA (dansk):

Røringscirkler

Se side 3 i Kirsten Rosenkildes:

Geometrinoter (PDF)

fredag den 5. august 2016

Roterende ellipse (easy way)

Roterende ellipse
Det stiplede linjestykke er normalvektor
til ellipsens tangent og halverer vinkel
P, der er angivet med et buestykke
mellem brændstrålerne.

Wikipedia: 

Ellipse (engelsk)

Ellipse (dansk)

Mathematics: Flytbar roterende ellipse

Se desuden: Ellipsens brændstråler