Cirkel-linje-skæring 6

Udførligt forklaret

Beregner skæringer mellem cirkler og linjer bestemt ved forskriften: a x + b y + c = 0, c = - ( a x₀ + b y₀ ) afledt af a ( x - x₀ ) + b ( y - y₀ ) = 0 ⇔ a x + b y - ( a x₀ + b y₀ ) = 0. Bemærk: For y = A x + B er 1) a = A og b = -1 2) x₀ = 0 og y₀ = B FriViden, video 33: Skæring ml. linie og cirkel Webmatematik: Cirkler og linjers skæringer

Cirkel-linje-skæring 5

Cirkel-linje-intersektion

Beregner opgaver af typen: En cirkel har centrum i punktet ( -0,25 ; -0,3 ) og radius = 7,5. - Den skæres af en linje, som går gennem den 119. og 17. grad. Bestem skæringskoordinaterne. FriViden, video 33: Skæring ml. linie og cirkel Web-matematik: Cirkler og linjers skæringer Med fuldt skalerbare skydere og grafer!

Parametrisk cirkel (scalable)

Fra grader til koordinater

FriViden (video 30): Cirklens ligning Webmatematik: Cirklens ligning Med fuldt skalerbare skydere og grafer!

Cirkeltangent i et punkt

Tangent-detektor

FriViden (video 34): Tangentligning til cirkel i et punkt Webmatematik: Tangentligning til en cirkel

Vektorer (differens mellem vektorer)

Vektorer (differens) Vektordifferens (easy way) Vektordifferens (elaboreret)

FriViden (video 3): Regning med vektorer i planen Webmatematik (Vektorer i 2 D): Regning med vektorer Forklaring Hvis -a→ angiver pilen fra B til A og c→ angiver pilen A til C, angiver differensen ( c→ - a→ ) = ( -a→ + c→ ) pilen fra B til C. Dermed er blå + grøn = rød: ( -a→ + c→ ) = b→

Linje-intersektion (opgave)

Skæring mellem to linjer

FriViden: Video 10: Løs ligninger Web-matematik: Grafisk løsning af ligninger

Vektorer (vektortyper)

Vektortyper Del af linjestykke

FriViden (video 1): Introduktion til vektorer i planen Web-matematik: Vektorer Lod- og vandrette vektorer Ens- og modsatrettede vektorer Sted- og tværvektor Vektor mellem to punkter Enhedsvektor

Cirkel (vektorregning)

Cirkel igen igen

FriViden (video 30): Cirklens ligning Webmatematik: Tangentligning til en cirkel

Punkt nedfældet på linje

Projektion af punkt på linje

FriViden (video 27-29): Projektion af punkt på linje Webmatematik: Linjens parameterfremstilling Distanceformlen

Skæring ( ligning / parameterfremstilling )

Ligning og parameterfremstilling

Skæringspunktet mellem to linjer findes lettest ved at indsætte den ene linjes parameterfremstilling i den anden linjes ligning. FriViden (video 26): Skæring mellem linjer Webmatematik: Linjens parameterfremstilling

Skæring (to parameterfremstillinger)

To parameterfremstillinger

FriViden (video 24-25): Skæring mellem linjer Webmatematik: Linjens parameterfremstilling

Vinkel mellem normalvektorer

Vinkel mellem normalvektorer

FriViden (video 23): Vinkler mellem linjer Webmatematik (vektorer): Vinkel mellem vektorer

Vinkel mellem to vektorer

Vinkel mellem vektorer

FriViden (video 23): Vinkler mellem linjer Video 9: Prikprodukt Webmatematik: Vinkel mellem vektorer

Vektorer (linjens ligning)

Linjens ligning (bevis) Linjens ligning 2 Linjens ligning 3

Ligger P ( x ; y ) på linjen, er P₀ ( x₀ ; y₀ ) = P, eller vektor ( P₀ P )→ ⊥ n→ ⇔ ( P₀ P )→ ⋅ n→ = 0 ⇔ ( x - x₀ ; y - y₀ ) ⋅ ( a ; b ) = 0 ⇔ a ⋅ ( x - x₀ ) + b ⋅ ( y - y₀ ) = 0 Fra normalvektor til ligning: ( x ; y ) = ( x₀ ; y₀ ) + t ( a ; b ) r→ = ( a ; b ) ⇔ n→ = ( -b ; a ) ⇔ -b ⋅ ( x - x₀ ) + a ⋅ ( y - y₀ ) = 0 ⇔ -b x + a y - ( a ⋅ y₀ - b ⋅ x₀ ) = 0 ⇔ -b x + a y + c = 0, c = -( a ⋅ y₀ - b ⋅ x₀ ). Fra ligning til parameterfremstilling: a x + b y + c = 0 n→ = ( a ; b ) ⇔ r→ = ( -b ; a ) x = 0: b y + c = 0 ⇔ y = -c / b ( x ; y ) = ( 0 ; -c / b ) + t ( -b ; a ) FriViden (video 21-22): Linjens ligning Webmatematik (vektorer): Linjens ligning Wikipedia: Line equation

Vektorer (areal og vinkel)

Vinkel- og Arealberegning

FriViden (Video 18): Arealberegning vha. determinant Webmatematik: Determinant Webmatematik: Vinkel mellem to vektorer Vinklen mellem to vektorer, der udgår fra samme punkt, kan bestemmes ved at tage cosinus invers til: produktet af deres x-koordinater + produktet af deres y-koordinater delt med: produktet af deres længder.

Normal- og retningsvektor

Normal- og retningsvektor

FriViden (video 17): Tværvektor Webmatematik: Vektorer To vektorer står vinkelret på hinanden (er ortogonale), hvis deres prikprodukt (det såkaldte skalarprodukt) er lig med nul: Det vil sige: hvis summen af 1. koordinaternes produkt og 2. koordinaternes produkt er lig med nul. Webmatematik: Skalarprodukt

Linjens parameterfremstilling

( 0 + 1t, b + at )

Parameterfremstillinger

Linjefremstillinger

FriViden (video 19 og 20):

Linjens parameterfremstilling

Webmatematik:

Linjens parameterfremstilling

Linjens ligning

Wikipedia:

Linear equation

Linjefremstilling

Enhedscirkel (parametriske linjer)

Parametriske linjer

Vektorer (determinant)

Determinanten

FriViden (video 15-16): Parallelle vektorer (determinant) Webmatematik: Determinant

Vinkelbuer og -halveringslinjer

Vinkelsum og parallelle linjer

Placer vinkel B og C til henholdsvis venstre og højre for vinkel A, og du har alle trekantens vinkler på den samme rette linje, hvilket viser, at trekantens vinkelsum er 180 grader.

Vektorer (projektion)

Vektorprojektion (forenklet) FriViden (video 13-14): Projektion af en vektor på en vektor Webmatematik: Projektion af vektor på vektor

Vektorprojektion (elaboreret)

Sjov med linjer

Sjov med linjer

Vektorer (komposanter)

Komposantfinder

FriViden (video 8): Opløsning af vektor i komposanter

Linjens ligning 1

Linjens ligning 1

Lodret linje: x = k Vandret linje: y = k Skrå linje: y = a x + b y = a ( x - x₀ ) + y₀ y = a ( x - s ) + t Vandret forskydning: x₀ og s Lodret forskydning: y₀ og t

Vektorer (punkt- og vinkelfinder)

Punktberegning vha. stedvektor FriViden: Video 6: Punktbestemmelse Video 6: Stedvektor Video 7: Ortogonale vektorer Video 9: Prikprodukt

Med vinkelberegning! Vinklen mellem to vektorer, der udgår fra samme punkt, kan bestemmes ved at tage cosinus invers til: produktet af deres x-koordinater + produktet af deres y-koordinater delt med: produktet af deres længder. Video 11: Vinkelbestemmelse Webmatematik: Vinkel ml. vektorer

Vektorer 4 (punktberegning)

C's koordinater beregnes FriViden: Video 6: Punktbestemmelse Video 11: Vinkelbestemmelse Web-matematik: Vinkel ml. vektorer

På linjen AB, der har koordinaterne A ( 2 ; -5 ) og B ( 14 ; 7 ), ligger punktet C, sådan at længden af vektor AC = 2 / 3 af AB. C's koordinatsæt bestemmes i det følgende: AB = ( 14 - 2 ; 7 - ( -5 ) ) = ( 12 ; 12 ) Stedvektoren OC, der (som forbogstavet O antyder) udgår fra origo, findes: OC = OA + AC = OA + ( 2 / 3 ) ⋅ AB = ( 2 ; -5 ) + ( 2 / 3 ) ⋅ ( 12 ; 12 ) = ( 2 ; -5 ) + ( 8 ; 8 ) = ( 10 ; 3 )