lørdag den 30. januar 2016

Cirkel-linje-skæring 6

Udførligt forklaret



























Beregner skæringer
mellem cirkler og linjer
bestemt ved forskriften:

a x + b y + c = 0,

c = - ( a x₀ + b y₀ )

afledt af

a ( x - x₀ ) + b ( y - y₀ ) = 0 

a x + b y - ( a x₀ + b y₀ ) = 0.

Bemærk:

For y = A x + B er

1) a = A og b = -1

2) x₀ = 0 og y₀ = B


FriViden, video 33:

Skæring ml. linie og cirkel

Webmatematik:

Cirkler og linjers skæringer

Cirkel-linje-skæring 5

Cirkel-linje-intersektion













Beregner opgaver af typen:

En cirkel har centrum i punktet
( -0,25 ; -0,3 ) og radius = 7,5. -
Den skæres af en linje, som går
gennem den 119. og 17. grad.
Bestem skæringskoordinaterne.

FriViden, video 33:

Skæring ml. linie og cirkel

Web-matematik:

Cirkler og linjers skæringer

Med fuldt skalerbare

skydere og grafer!

lørdag den 23. januar 2016

Vektorer (differens mellem vektorer)

Vektorer (differens)















Vektordifferens










FriViden (video 3):

Regning med vektorer i planen

Web-matematik (Vektorer i 2 D):

Regning med vektorer








Forklaring

Hvis -a→ angiver pilen fra B til

A og c→ angiver pilen A til C,

angiver differensen ( c→ - a→ )

= ( -a→ + c→ ) pilen fra B til C.

Dermed er blå + grøn = rød:

( -a→ + c→ ) = b→

torsdag den 21. januar 2016

Vektorer (vektortyper)

Vektortyper

Del af linjestykke













FriViden (video 1):

Introduktion til vektorer i planen

Web-matematik: Vektorer

Lod- og vandrette vektorer

Ens- og modsatrettede vektorer

Sted- og tværvektor

Vektor mellem to punkter

Enhedsvektor

fredag den 15. januar 2016

Vektorer (linjens ligning)

Linjens ligning (bevis)
















Linjens ligning 2
















Linjens ligning 3
Ligger P ( x ; y ) på linjen,

er P₀ ( x₀ ; y₀ ) = P,

eller vektor ( P₀ P )→ ⊥ n→

⇔ ( P₀ P )→ ⋅ n→ = 0 ⇔

( x - x₀ ; y - y₀ ) ⋅ ( a ; b ) = 0 ⇔

a ⋅ ( x - x₀ ) + b ⋅ ( y - y₀ ) = 0





Fra normalvektor til ligning:

( x ; y ) = ( x₀ ; y₀ ) + t ( a ; b )

r = ( a ; b ) ⇔ n = ( -b ; a )

⇔ -b ⋅ ( x - x₀ ) + a ⋅ ( y - y₀ ) = 0

⇔ -b x + a y - ( a ⋅ y₀ - b ⋅ x₀ ) = 0 ⇔

-b x + a y + c = 0, c = -( a ⋅ y₀ - b ⋅ x₀ ).





Fra ligning til parameterfremstilling:

a x + b y + c = 0

n = ( a ; b ) ⇔ r = ( -b ; a )

x = 0: b y + c = 0 ⇔ y = -c / b

( x ; y ) = ( 0 ; -c / b ) + t ( -b ; a )


FriViden (video 21-22):

Linjens ligning

Webmatematik (vektorer):

Linjens ligning

Wikipedia:

Line equation

torsdag den 14. januar 2016

Vektorer (areal og vinkel)

Vinkel- og Arealberegning






FriViden (Video 18):

Arealberegning vha. determinant

Webmatematik:

Determinant

Webmatematik:

Vinkel mellem to vektorer

Vinklen mellem to vektorer,
der udgår fra samme punkt,
kan bestemmes ved at tage
cosinus invers til:

produktet af deres
x-koordinater +
produktet af deres
y-koordinater

delt med:
produktet af
deres længder.

Normal- og retningsvektor

Normal- og retningsvektor













FriViden (video 17):

Tværvektor

Webmatematik:

Vektorer

To vektorer står vinkelret på
hinanden (er ortogonale), hvis
deres prikprodukt (det såkaldte
skalarprodukt) er lig med nul:

Det vil sige: hvis summen af 1.
koordinaternes produkt og 2.
koordinaternes produkt er
lig med nul.

Webmatematik:

Skalarprodukt

mandag den 11. januar 2016

lørdag den 2. januar 2016

Vektorer (punkt- og vinkelfinder)

Punktberegning vha. stedvektor
















FriViden:

Video 6: Punktbestemmelse

Video 6: Stedvektor

Video 7: Ortogonale vektorer

Video 9: Prikprodukt













Med vinkelberegning!

Vinklen mellem to vektorer,
der udgår fra samme punkt,
kan bestemmes ved at tage
cosinus invers til:

produktet af deres
x-koordinater +
produktet af deres
y-koordinater

delt med:

produktet af
deres længder.

Video 11: Vinkelbestemmelse

Webmatematik:

Vinkel ml. vektorer

fredag den 1. januar 2016

Vektorer 4 (punktberegning)

C's koordinater beregnes
















FriViden:

Video 6: Punktbestemmelse

Video 11: Vinkelbestemmelse


Web-matematik:

Vinkel ml. vektorer

På linjen AB, der har koordinaterne

A ( 2 ; -5 ) og B ( 14 ; 7 ),

ligger punktet C, sådan at længden

af vektor AC = 2 / 3 af AB.

C's koordinatsæt

bestemmes i det følgende:

AB = ( 14 - 2 ; 7 - ( -5 ) ) = ( 12 ; 12 )

Stedvektoren OC, der

(som forbogstavet O antyder)

udgår fra origo, findes:

OC = OA + AC

= OA + ( 2 / 3 ) ⋅ AB

= ( 2 ; -5 ) + ( 2 / 3 ) ⋅ ( 12 ; 12 )

= ( 2 ; -5 ) + ( 8 ; 8 ) = ( 10 ; 3 )