torsdag den 29. oktober 2015

Statistik 23

Binomialkoefficient (elaboreret)
















Binomialkoefficienten:

n, x ) = n!x! ⋅ ( n − )! = 

nCr n, x ) 


angiver, på hvor mange
der, en delmængde på
x elementer kan vælges -
uden hensyn til rækkefølgen
af en mængde, der består
af n elementer.  

Mere konkret angiver f.eks.
tallet K ( 11, 5 ) = 462, hvor
mange måder en gruppe på
5 elever kan vælges på
blandt 11 elever.

- Det angiver også, på hvor
mange måder 5 krydser kan
placeres i et skema med 11
rubrikker. - En delmængde,
bestående af 5 elementer er
en såkaldt 5-kombination.

(11, 5 ) = 11!5! ⋅ ( 11 − )! = 

11  10  9  8  75  4  3  2  1 = 462

Se video 6 og 7:

Kombinatorik ...

Sandsynlighed og kombinatorik:

Grundlæggende begreber

Se også Wikipedia:

Kombinatorik

Binomialkoefficienten K(n,x)

K ( 7,4 ) = 35 angiver, hvor mange
forskellige måder x = 4 kugler
kan vælges på fra en mængde
bestående af n = 7 kugler:

7  6  5  44  3  2  1 = 35

Der vælges 1 kugle ad 4 omgange.
- Som udgangspunkt er der altså 4
valgmuligheder: Efter valget af den
første kugle er der 3, efter den
anden 2 osv. Alt i alt giver det 4! =
24 måder at kombinere kugler på:

7  6  5  44! = 35

Hver gang én kugle er valgt, er
der 1 kugle mindre at vælge mellem.
Da valget af en hvilken somhelst af
de 7 kugler giver 6 måder at vælge
den næste kugle på etc., er der i alt
7 · 6 · 5 · 4 = 840 valgmuligheder,
som divideret med 24 giver 35
måder at vælge ud af 7 kugler på.

Forlænger vi nu brøken med

3 · 2 · 1, finder vi at:

7  6  5  ( 4  3  2  1 )4! ⋅ ( 3  2  1 ) =

7!4! ⋅ ( 7 − 4) ! = 35


tirsdag den 27. oktober 2015

Statistik 22

Binomialformlen (eksempel)
















Opgaver:

Bekræft, at sandsynligheden

for med 10 kast at slå:

3 seksere = 15,50 %

5 seksere = 1,30 %

6 seksere = 0,22 %

højst 4 seksere = 98,45 %

mindst 5 seksere = 1,55 %

mellem 3 og 5 seksere = 22,23 %


Bekræft, at sandsynligheden

for med 3 kast at slå:

mindst 1 sekser = 42,13 %

mindst 2 seksere = 7,41 %
Sandsynlighed og kombinatorik:

Grundlæggende begreber

Se også video 6-9:

Kombinatorik ...

En terning kastes n = 10 gange.
Vi beregner sandsynligheden P
for X ( = 7 ) gange at få basis-
hændelsen H ( = 6 øjne), der
svarer til basissandsynligheden
p ( = 1 / 6 ). - Vi beregner m.a.o.
sandsynligheden P for med 10
kast at slå 7 seksere:

n = 10

p = 0,166666666667

a = b = 7


n!a! ⋅ ( n − a )! ⋅ ( 16 )⋅ ( 1 − 16 ) ( n − a ) =

0,0002480


Binomialkoefficienten:

n, x ) = n!x! ⋅ ( n − )! = 

nCr n, x )
  

angiver, hvor mange der,
x elementer kan vælges på
(uden hensyn til rækkefølgen)
af en mængde bestående af
n elementer.

mandag den 26. oktober 2015

Statistik 21

Binomialkoefficient (uddybning)


Binomialkoefficienten:

n, x ) = n!x! ⋅ ( n − )! = 

nCr n, x )
  

angiver, hvor mange der,
x elementer kan vælges på
(uden hensyn til rækkefølgen)
af en mængde bestående af
n elementer.  

Mere konkret angiver f.eks.
tallet K ( 11, 5) = 462, på hvor
mange måder en gruppe på
5 elever kan vælges blandt
11 elever.

- Det angiver også, på hvor
mange måder 5 krydser kan
placeres i et skema med 11
rubrikker. - En delmængde,
bestående af 5 elementer er
en såkaldt 5-kombination.

11, 5 ) = 11!5! ⋅ ( 11 − )! = 

11  10  9  8  75  4  3  2  1 = 462

Se video 6 og 7:

Kombinatorik ...


Sandsynlighed og kombinatorik:

Grundlæggende begreber

Se også Wikipedia:

Kombinatorik

Binomialkoefficienten K ( n, x )

K ( 8, 6 ) = 28 angiver, hvor
mange forskellige måder x = 6
kugler kan vælges på fra en
mængde bestående af
n = 8 kugler:

8  7  6  5  4  36  5  4  3  2  1 = 28

Der vælges 1 kugle ad 6
omgange. Som udgangspunkt
er der altså 6 valgmuligheder:
Efter valget af den første er der
5, efter den anden 4 osv. - Alt i
alt giver det 6! = 720 måder at
kombinere kugler på:

8  7  6  5  4  36! = 28

Hver gang én kugle er valgt,
er der 1 kugle mindre at vælge
mellem. Da valget af en hvilken
somhelst af de 8 kugler i den
første søjle giver 7 måder at
vælge den næste på osv., er der
i alt 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 = 20160
valgmuligheder, som divideret
med 720 giver 28 måder at
vælge 6 ud af 8 kugler på.

Forlænger vi nu brøken med

2 · 1, finder vi at:

8  7  6  5  4  3  2  16! ⋅ 2  1 =

8!6! ⋅ ( 8 − )! = 28

lørdag den 24. oktober 2015

Statistik 20

Binomialkoefficienten (eksempler)
















Binomialkoefficienten:

n, x ) = n!x! ⋅ ( n − )! = 

nCr n, x )
  

angiver på hvor mange måder, en delmængde på x elementer
kan vælges (uden hensyn til
rækkefølgen) af en mængde,
der består af n elementer.  

Mere konkret angiver f.eks.
tallet K ( 13,4 ) = 715, på hvor
mange måder en gruppe på
4 elever kan vælges blandt
13 elever.

- Det angiver også, på hvor
mange måder 4 krydser kan
placeres i et skema med 13
rubrikker. - En delmængde,
bestående af 4 elementer er
en såkaldt 4-kombination.

13, 4 ) = 13!4! ⋅ ( 13 − )! = 

13  12  11  10⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 715 

Se video 6 og 7:

Kombinatorik ...
Sandsynlighed og kombinatorik:

Grundlæggende begreber

Se også Wikipedia:

Kombinatorik

I en skoleklasse er der
13 drenge og 15 piger.

1) På hvor mange måder kan en
gruppe bestående af 7 elever
udvælges fra klassen?

Svar: K ( 28,7 ) = 1184040 måder.

2) I hvor mange af grupperne
er der kun piger?

Svar: K ( 15,7 ) = 6435 = det antal
måder, hvorpå der kan vælges en
kombination af 7 piger blandt 15.

3) I hvor mange af grupperne er
der 3 drenge og 4 piger?

Svar: K ( 13,3 )  K ( 15,4 ) = 
286 ⋅ 1365 = 390390 muligheder
for at udtage en kombination af 3
drenge og 4 piger, idet der hver
gang 3 drenge vælges, er 1365
muligheder for at vælge 4 piger.

Hvis rækkefølgen har betydning
for udvælgelsen af f.eks. 7 ud af
28 elever, er fremgangsmåden
en anden. Vil man f.eks. vælge:

1) en elevrådsformand,
2) en næstformand,
3) en ordstyrer,
4) en kasserer,
5) en sekretær,
6) en første-suppleant og
7) en anden-suppleant,

er antallet af mulige kombinationer:

28  27  26  25  24  23  22 =

5967561600.