torsdag den 27. august 2015

Lodret kast opad

Lodret kast opad
Se også

Differentialregning 14:

Acceleration

Bevægelse med acceleration
















Position (strækning):

) = 12 ⋅ ⋅ t2 + v⋅ t + s0

Hastighed:

) = ⋅ t + v0

Bevægelse med
konstant acceleration.

Ved konstant partikelacceleration
a er denne givet ved:

v ' ) = a

Dermed er hastigheden

) = ⋅ t + v0

Og endelig er stedfunktionen

) = 12 ⋅ ⋅ t2 + v⋅ t + s0

Retlinjet bevægelse

Retlinjet bevægelse
















Position (strækning):

) = v⋅ t + s0

Hastighed: v0

Acceleration: 0
For en partikels bevægelse ad 
en ret linje gælder, at strækningen
(stedet) s er en funktion af tiden t:

) = v⋅ t + s0

Partiklens hastighed:

) = s ' )

Begyndelsesstedet:

( 0 ) = s0

Starthastigheden:

( 0 ) = v0

For en jævn, retlinjet bevægelse
er hastigheden konstant:

s ' ) = v0

og stamfunktionen er givet ved 

) = v⋅ t + s0

tirsdag den 25. august 2015

Logaritmisk skala 3

Logaritmisk koordinatsystem
















Følgende billige

Pocket CAS Pro app

der blandt andet kan tegne
og udprinte grafer i enkelt- og dobbeltlogaritmiske koordinat-
systemer kan varmt anbefales.

Se også her.
y = ⋅ ax

I et enkeltlogaritmisk koordinat-
system (hvor kun y-aksen er loga-
ritmisk) er grafen for en eksponen-
tiel sammenhæng en ret linje.

y = ⋅ xa

I et dobbeltlogaritmisk koordinat-
system er grafen for en potens-
sammenhæng en ret linje.


mandag den 24. august 2015

Logaritmisk skala 2

Højde og lufttryk

Eksponentiel regression

efter forskriften

y = ⋅ bx

Lufttrykket p som en

funktion af højden x:

P(x) = ⋅ bx

Logaritmisk skala 1

Højde og lufttryk

h = højden i kilometer

Lp = log ( lufttrykket p )

Lineær regression:

Lp ~ (−0,068315) h + 3,1053

Log(p) = (−0,068) x + 3,1053


p = 10 (−0,068) x + 3,105 b


Lufttrykket p som en funktion

af højden x i kilometer:

p(x) = 10 (−0,068) x + 3,105 b

mandag den 17. august 2015

Modelopstilling 3

Optimal kanalpramslængde














Hvor lang må en pram maksimalt
være, hvis den skal kunne komme
igennem svinget fra en 20 meter
bred hovedkanal til en 12 meter
bred sidekanal?

Bemærk, at prammen for nemheds
skyld er tegnet som et linjestykke,
dvs uden bredde.

Bemærk også, at pramlængden er
lig med summen af to ensvinklede
trekanters hypotenuser.

lørdag den 15. august 2015

Modelopstilling 2

Trafikafvikling (eksempel)















) = vb + ⋅ v + ⋅ v2 { v > 0 }

Opgaveformulering

Bestem vha. ovenstående trafik-
afviklingsmodel den hastighed,
hvormed flest mulige biler kan
passere et trafikknudepunkt.

Forklaring

N er det antal biler, der passerer
hvert sekund som en funktion af
deres hastighed v ( m / s ).

b er bilernes længde i meter, k
deres friktion, og R er bilisternes
reaktionstid i sekunder, mens
bremselængden i meter er givet
ved v i anden gange k.

Præmis

Hver bil holder en sikkerheds-
afstand til den forankørende på
reaktionslængden + bremselæng-
den, der tilsammen er lig med:

⋅ v + ⋅ v2

Hvis hertil lægges billængden b,
vil hver bil under hele trafikafvik-
lingen lægge beslag på følgende
strækning (vejlængde) i meter:

b + ⋅ v + ⋅ v2

For at finde den optimale hastighed
for afvikling af mest mulig trafik diffe-
rentierer vi N ( v ) og løser ligningen
N ' ( v ) = 0.

torsdag den 13. august 2015

Trigonometri og differentiation

3 cos ( x ) e-x + 3 sin ( x )

















(x) = 3 ⋅ cos(x) ⋅ ex + 3 ⋅ sin(x)

(x) = f ' (x) =


3 (cos(x))'  ex + 3 cos(x (ex)' + 3 cos(x) =


−3 sin(x ex + 3 cos(x⋅ (−ex) + 3 cos(x) =


e⋅ 3 sin(x) − e⋅ 3 cos(x) + 3 cos(x) =

e(3 sin(x) + 3 cos(x)) + 3 cos(x)



(x) = cos(3x) + 2 ⋅ sin(2x)

(x) = f ' (x) =

(cos (3x))' + 2 ⋅ (sin (2x))' =

−sin(3x) ⋅ (3x)' + 2 ⋅ cos(2x) ⋅ (2x)' =

− sin(3x) ⋅ 3 + 2 ⋅ cos(2x) ⋅ 2